案例描述：

该教育机构是一家小型在线教育机构，拥有数百名全职教师和几十名兼职教师。随着业务的不断扩张，该机构需要不断招募更多的教师来满足日益增长的学生需求。然而，该机构并没有足够的资源来招募大量的全职教师，同时也需要更灵活的方式来招募和管理教师。因此，该机构采用了灵活用工模式来招募和管理教师。

灵活用工帮助该机构解决了以下问题：

1. 人力资源管理问题：灵活用工模式使得该机构可以根据实际需求随时招募和解雇教师，避免了传统雇佣方式下的固定成本和人力资源管理问题。

2. 教学质量问题：该机构可以根据教师的能力和专业背景来分配教学任务，同时可以根据学生的反馈和评价来评估教学质量，从而提高教学质量。

3. 运营成本问题：该机构可以根据实际需求灵活调整教学资源，避免了过多的固定成本和运营风险。

4. 人员稳定性问题：该机构可以根据教师的表现和能力来进行奖励和晋升，提高教师的工作积极性和稳定性，从而降低人员流失率。

总之，灵活用工模式为该教育机构提供了更灵活、更高效、更可靠的人力资源管理方式，帮助他们解决了人力资源管理、教学质量、运营成本和人员稳定性等问题，同时也为该机构的快速发展提供了有力支持。